Read e-book online Angewandte Mathematik mit Mathcad, Lehr- und Arbeitsbuch: PDF

By Josef Trölß

ISBN-10: 321129693X

ISBN-13: 9783211296936

ISBN-10: 3211296948

ISBN-13: 9783211296943

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verf?gung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierb?ndigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad", richtet sich vor allem an Sch?lerinnen und Sch?ler h?herer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich ?ber eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen informieren wollen und dabei die Vorz?ge von Mathcad m?glichst effektiv n?tzen m?chten.

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Dann gilt für ein beliebige Entwicklungsstelle x 0  [a,b]: f ¦ Die Taylorreihe f ( x) = ª« f ( n) x º 0 n» « n ˜ x  x0 » konvergiert für alle x  [a,b] , und es ist ¬ ¼ n 0 f º ª« f ( n) x 0 n» « n ˜ x  x0 » . ¬ ¼ ¦ n 0 (2-10) Sie kann auch als Summe von Taylorpolynom und Restglied geschrieben werden: n f ( x) = ¦ k 0 ª« f ( k) x º 0 k» « k ˜ x  x0 »  Rn1( x) . ¬ ¼ (2-11) Rn+1 (x) bezeichnet man als Restglied, weil es den Unterschied von f(x) zum Taylorpolynom angibt. Die Taylorreihe wird auch MacLaurin-Reihe genannt.

17: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = arctan(x) ? Berechnen Sie näherungsweise die Zahl S. f ( x) = arctan ( x) x0  0 gegebene Funktion und Entwicklungsstelle Seite 37 Taylorreihen 1 3 1 5 1 7 1 9 1 1 11 13 p ( x)  atan ( x) reihe  x = x0  14 o 1 ˜ x  ˜ x  ˜ x  ˜ x  ˜ x  ˜x  ˜x 3 5 7 9 11 13 f arctan ( x) = ¦ n 0 ª n x2˜n1 º «( 1) ˜ » 2 ˜ n  1¼ ¬ Taylorreihe für arctan(x). Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 d x d1. 1415926556 Es gelten folgende Zusammenhänge: arccot ( x) = S 2  arctan ( x) bzw.

10 Seite 33 6 3 8 10 Taylorreihen Grafische Darstellung des relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: f ( x)  p ( x) Frel ( x)  if x  0 f ( x) f ( x)  p ( x) f ( x) relativer Fehler in % ˜ 100 otherwise Relativer Fehler 100 Frel( x) 50 n 6 4 2 0 2 3 4 x0 1 6 8 10 x Abb. 11 Wie gezeigt wurde, ermöglicht Mathcad auch eine unterschiedliche Wahl von Entwicklungspunkten. Dies bringt eine bessere Approximation im gewünschten Bereich, oder ermöglicht auch das Aufstellen der Taylorreihe, wenn etwa die Funktion um x = 0 nicht entwickelt werden kann.

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Angewandte Mathematik mit Mathcad, Lehr- und Arbeitsbuch: Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen German by Josef Trölß


by Mark
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