Angewandte Mathematik mit Mathcad, Band 2. Komplexe Zahlen, by Josef Trölß PDF

By Josef Trölß

ISBN-10: 3211296875

ISBN-13: 9783211296875

ISBN-10: 3211296883

ISBN-13: 9783211296882

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.

Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk „Angewandte Mathematik mit Mathcad“, richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich komplexer Zahlen, komplexer Funktionen, Vektor- und Matrizenrechnung, Vektoranalysis informieren und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.

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B. bei t = 0): j˜Z˜t = Û ˜ e j˜M u ˜ e j˜Z˜t = Û ˜ e j˜Z˜t = Î ˜ e j˜M i ˜ e j˜Z˜t = Î ˜ e j˜Z˜t Â= ˜e Î = Θe j˜M u j˜M i = = 2 ˜ Ueff ˜ e 2 ˜ Ieff ˜ e Û = ۘ e j˜M u Î = Θe j˜M i bzw. bei Zugrundelegung des Effektivwertes mit dem zeitunabhängigen Spannungs- bzw. Stromzeiger Mit den komplexen Amplituden: Û = ۘ e j˜M j˜M u U= 2 ˜ Ueff = Ueff I= 2 ˜ Ieff = Ieff j˜M i Die physikalischen Größen bedeuten: y, u, i Augenblickswert y, u, i komplexer Zeitwert Â, Û, Î komplexe Amplitude oder Scheitelwert Ueff, Ieff komplexer Effektivwert Ueff, Ieff Betrag des Effektivwertes ejZt Drehfaktor.

Drehstauchung des Zeigers. 464 z 1  [ r ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) ] 8 . 4 Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen Für reelle Zahlen gilt: b= n n a œ b = amit n ²und a,b + Für komplexe Zahlen definieren wir: z0 = n n = zmit n ², z z0 und z  z œ z 0 Mit z = r ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) gilt dann nach Satz von Moivre: 1 z0 = n z=z n 1 = [ r ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) ] n 1 =r § 1 · ¨ n M z0 = z = ¨ r  (Zahlenpaarform) n¹ © n § © §M· § M ··  j ˜ sin ¨ (Polarform) © n¹ © n ¹¹ ˜ ¨ cos ¨ (1-59) 1 n (1-60) In Exponentialform und unter Anwendung des Satzes von Moivre (siehe Beweis oben) gilt dann mit z = r ˜ e j˜M : 1 z0 = z n 1 = r˜ e j˜M 1 n =r n j˜ ˜e M n (1-61) Seite 30 Komplexe Zahlen und Funktionen Bemerkung: Kosinus- und Sinusfunktion sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode von 2 S.

Besitzt den Betrag |  | =  , | Û | = Û bzw. | Î | = Î und den Nullphasenwinkel M und legt die Anfangslage des rotierenden Zeigers fest. Die Zeitfunktion e jZt beschreibt die Rotation des Zeigers mit der Winkelgeschwindigkeit Z um den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene. Der Momentanwert der Sinusschwingung entspricht dann dem Imaginärteil des rotierenden Zeigers: j˜Z˜t =  ˜ sin (Z ˜ t  M ) j ˜Z˜t = Û ˜ sin Z ˜ t  M u ; u ( t) = Im ( u) = Im Û ˜ e j ˜Z˜t = Î ˜ sin Z ˜ t  M i . i ( t ) = Im ( i) = Re Î ˜ e y ( t) = Im ( y) = Im  ˜ e (2-10) (2-11) (2-12) Liegt eine Schwingung als Kosinusschwingung vor, so ergeben sich für die Berechnung folgende Möglichkeiten: 1.

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by Brian
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